Fiche - Suites arithmétiques et géométriques

ISuites arithmétiques

Une suite de valeurs est arithmétique si pour passer d'un terme au suivant, on lui ajoute une même valeur (la raison $r$).

Formule de récurrence d'une suite arithmétique $(u_n)$ : $$ \left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& u_{n} + r \\ u_0 &=& \text{terme initial} \end{array} \right. $$ Formule explicite (utilisée en pratique) pour $(u_n)$ à partir du terme d'indice 0 : $$ u_{n} = u_{0} + r\times n $$ Ou à partir de n'importe quel indice : $u_n$ = (premier terme) + (nombre de termes avant $u_n$)$\times$(raison)

Pour la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 : $$ 1+2+3+...+n = \frac{n\times (n+1)}{2} $$ Pour toute suite arithmétique la somme vaut : (nombre de termes) $\times$ ($\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$)

IISuites géométriques

Une suite de valeurs est géométrique si pour passer d'un terme au suivant, on le multiplie par une même valeur (la raison $q$).

Formule de récurrence d'une suite géométrique $(u_n)$ : $$ \left\{ \begin{array}{ccc} u_{n+1} &=& q \times u_{n} \\ u_0 &=& \text{terme initial} \end{array} \right. $$ Formule explicite (utilisée en pratique) pour $(u_n)$ à partir du terme d'indice 0 : $$ u_{n} = u_{0} \times q^n $$ Ou à partir de n'importe quel indice : $u_n$ = (premier terme) $\times$ (raison) ^{(nombre de termes avant $u_n$)}

Si la raison $q \neq 1$ : $$ 1+q+q^2+...+q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} $$ Pour toute suite géométrique la somme vaut : (premier terme) $\times$ $\frac{1 - (\text{raison})^\text{nombre de termes}}{1 - (\text{raison})}$

IIIExercices types

Exercice 1 Une suite arithmétique $u_n$ a pour premier terme $12$ et raison -2. Calculer $u_{10}$ et $S_{10}$

Solution :

Calcul de $u_{10}$ : $$ u_{10} = 12 + 10 \times (-2)\\ u_{10} = -8 $$ Calcul de $S_{10}$ : $$ S_{10} = 11 \times \frac{12 + (-8)}{2} \\ S_{10} = 22 $$

Exercice 2 Une suite arithmétique $u_n$ a pour 10ème terme $u_10 = -28$ et raison -3. Calculer $u_{0}$ et $S_{10}$

Solution :

Calcul de $u_{0}$ : $$ u_{10} = u_0 + 10 \times r\\ -28 = u_0 + 10 \times (-3)\\ -28 = u_0 - 30\\ -28 + 30 = u_0\\ u_{0} = 2 $$ Calcul de $S_{10}$ : $$ S_{10} = 11 \times \frac{2 + (-28)}{2} \\ S_{10} = -143 $$

Exercice 3 Une suite géométrique $u_n$ a pour premier terme $1024$ et raison $\frac{1}{2}$. Calculer $u_{5}$ et $S_{4}$

Solution :

Calcul de $u_{5}$ : $$ u_{5} = 1024 \times (\frac{1}{2})^5\\ u_{5} = 32 $$ Calcul de $S_{5}$ : $$ S_{4} = 1024 \times \frac{1-\frac{1}{2}^5}{1 - \frac{1}{2}} \\ S_{4} = 1984 $$

Exercice 4 Une suite géométrique $u_n$ a pour 4ème terme $u_4 = -80$ et raison -2. Calculer $u_{0}$ et $S_{4}$

Solution :

Calcul de $u_{0}$ : $$ u_{4} = u_0 \times r^4\\ -80 = u_0 \times (-2)^4\\ -80 = u_0 \times 16\\ \frac{-80}{16} = u_0\\ u_{0} = -5 $$ Calcul de $S_{4}$ : $$ S_{4} = -5 \times \frac{1 - (-2)^5}{1 - (-2)} \\ S_{4} = -55 $$